Возведение в квадрат с использованием формул сокращенного умножения

Квадрат суммы и квадрат разности

Одним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности. Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например:

• 37² = (30+7)² = 30² + 2*30*7 + 7² = 900+420+49 = 1 369
• 94² = (90+4)² = 90² + 2*90*4 + 4² = 8100+720+16 = 8 836

Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях.

Квадрат близкий к известному квадрату

Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:

На 1 больше:

Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.

• 31² = 30² + 31 + 30 = 961
• 16² = 15² + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

На 1 меньше:

Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.

• 19² = 20² – 19 – 20 = 400 – 39 = 361
• 24² = 25² – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576

На 2 больше

Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.

• 22² = 20² + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27² = 25² + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

На 2 меньше

Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.

• 48² = 50² – 2*(50+48) = 2500 – 196 = 2 304
• 98² = 100² – 2*(100+98) = 10 000 – 396 = 9 604

Квадрат чисел близких к 50

Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60, можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах:

• 44² = (25-6)*100 + 6² = 1900 + 36 = 1936
• 53² = (25+3)*100 + 3² = 2800 + 9 = 2809

Квадрат трехзначных чисел

Возведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения.

Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение:

436² = (400+30+6)²= 400² + 30² + 6² + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096